Tudo o que isso faz é ajustar linearmente a probabilidade 5% normalmente plana para que cada número ocorra. O que resulta é uma probabilidade aumentada ou diminuída de qualquer número acima ou abaixo da média, positivamente por vantagem e negativamente por desvantagem. Vejo este conjunto de funções AnyDice, que produz o seguinte:

^{O preto é d20, o laranja é o mais alto de 2d20, o azul é o mais baixo de 2d20.}

Como a probabilidade de atingir um número determinado é uma função linear, podemos usar a regressão linear (via Wolfram Alpha e nossos dados de amostra do AnyDice eventualmente resolver por probabilidade de x = 0.5x - 0.25 - multiplique por 100, e há uma chance percentual de você rolar qualquer número específico.

Além disso, o que você provavelmente está procurando é a probabilidade de finalmente um número específico será rolado, usando vantagem ou desvantagem. AnyDice, novamente, é rei:

^{O preto é d20, o laranja é o mais alto de 2d20, o azul é o mais baixo de 2d20.}

Data:

Vantagem #% 1 100 2 99.75 3 99 4 97.75 5 96 6 93.75 7 91 8 87.75 9 84 10 79.75 11 75 12 69.75 13 64 14 57.75 15 51 16 43.75 17 36 18 27.75 19 19 20 9.75X 1 100 2 90.25 3 81 4 72.25 5 64 6 56.25 7 49 8 42.25 9 36 10 30.25 11 25 12 20.25 13 16 14 12.25 15 9X

A matemática é direta

Com uma vantagem, você está procurando o melhor de dois resultados. Para descobrir suas chances, você precisa multiplicar a chance de FAILURE para descobrir a nova chance de falha. Por exemplo, se você precisar do 11 + para jogar dois dados e usar os melhores meios, em vez de uma falha de 50%, você tem apenas uma chance de falha de 25% (.5 vezes .5).

Para uma desvantagem em que você leva o pior de dois dados, você precisa multiplicar as chances de SUCESSO para descobrir as novas chances. Por exemplo, se você precisar de um 11 + para atingir sua chance, o sucesso cai de 50% para 25% (.5 time .5).

A vantagem de obter o 16 +, passa de uma chance de sucesso de 25% a uma chance de sucesso de aproximadamente 43. (.75 time .75)

A desvantagem que o 16 + atingiu, passa de uma chance de sucesso de 25 a aproximadamente uma chance de sucesso de 6% (.25 vezes .25)

A regra geral de que na faixa intermediária do d20 (do sucesso em uma 9 + a 12 +) a vantagem concede aproximadamente o equivalente a um bônus + 5 e a uma penalidade de -5 em desvantagem. O aumento e a redução nas probabilidades diminuem quando as chances de sucesso se aproximam do 1 ou 20. Por exemplo, uma vantagem em um 19 +, sua chance de falha passa de 90% para 81%, não um bônus + 2 em um d20.

Uma propriedade interessante do sistema é que sempre há uma chance de sucesso e sempre uma chance de fracasso. Ao contrário dos sistemas modificadores, em que modificadores suficientes podem significar sucesso ou falha automática. (A menos que você tenha um 20 é um sucesso automático e 1 uma falha automática)

Uma aplicação útil para saber as chances de rolar dois dados é que você pode convertê-lo em um bônus direto ao rolar para um grande número de NPCs. Um monte de duendes com uma vantagem surpresa que precisam do 13 + para atingir os jogadores, você pode aplicar um bônus + 4 (ou + 5 se você arredondar) em vez de rolar o segundo dado. Isso ocorre porque eles têm uma chance de falha do 60% no 13 +. Tomando .6 vezes .6, obtém .36 uma queda de 24%. Não é um bônus de + 5 em um dado d20.

O resultado médio vai de 10.5 a 7.175, por desvantagem, e a 13.825, por vantagem. As probabilidades variam de um 5% plano para cada um dos 1 a 20 a (resultados de desvantagem mostrados; inverta a primeira coluna para obter resultados de vantagem):

 1 39 9.75% 2 37% 9.25 3% 35 8.75 4% 33 8.25 5% 31 7.75 6% 29 7.25% 7 27 6.75% 8% 25% 6.25% 9% 23% 5.75% XNX 10% 21 5.25 11% 19 4.75 12 17% 4.25 13 15% 3.75 14 13% 3.25 15 11% 2.75 16 9% 

(A coluna do meio é quantas das combinações 400 de dois números de 1-20 produzem o resultado fornecido na primeira coluna.)

Eu só queria adicionar uma resposta mais generalizada a essa pergunta que fornecerá uma fórmula para calcular sua chance de sucesso com vantagens e desvantagens, em vez de procurar o valor em uma tabela. Eu farei o meu melhor para deixar isso claro para qualquer pessoa com qualquer formação matemática, então, deixe-me saber nos comentários se alguma das etapas não fizer sentido.

Vantagem

Com vantagem quando você precisa rolar pelo menos \ $ n \ $ para ter sucesso em seu cheque (por exemplo, cheque - mod = \ $ n \ $), você obtém sucesso se qualquer um dos seus dois dados rolar um valor de \ $ n \ $ ou melhor. Por outro lado, você falha quando seus dois dados lançam um valor de \ $ n-1 \ $ ou menos. Como essas são as duas únicas opções, você obtém sucesso ou falha, a probabilidade de uma dessas duas coisas acontecer é \ $ 1 \ $, portanto, podemos dizer:

$$ P (sucesso) + P (falha) = 1 $$

Onde \ $ P (x) \ $ indica a probabilidade do evento \ $ x \ $ ocorrer. Podemos reorganizar isso para obter:

$$ P (êxito) = 1 - P (falha) $$

Então agora sabemos que podemos encontrar o valor que queremos usando a probabilidade de falha, que definimos anteriormente como:

$$ P (falha) = P (\ text {ambos os dados} \ leq n-1) $$ a probabilidade de ambos os dados rolarem um valor de \ $ n-1 \ $ ou menos. Por um dado, sabemos que existem \ $ n-1 \ $ maneiras de rolar \ $ n-1 \ $ ou menos (por exemplo, se \ $ n-1 = 5 \ $ você pode rolar \ $ 1, 2 , 3, 4, \ text {ou} 5 \ $, para que haja \ $ 5 \ $ maneiras possíveis de fazer isso). Existem \ $ 20 \ $ maneiras possíveis totais de rolar os dados. portanto, a probabilidade de um dado rolar \ $ n-1 \ $ ou menos é o número de maneiras de rolar \ $ n-1 \ $ dividido pelo número total de maneiras de rolar os dados ou:

$$ P (\ texto {um dado} \ leq n-1) = \ frac {n-1} {20} $$

Como os dois dados são iguais, a probabilidade de rolar \ $ n-1 \ $ é a mesma, portanto sabemos as probabilidades para os dois dados. As duas jogadas de dados são independentes uma da outra, o que significa que o número que você joga um dado não afeta o número que você joga no outro. Em outras palavras, se você rolar um 5 no primeiro dado, as chances de rolar um 7 no outro não mudam. Quando dois eventos são independentes, podemos encontrar a probabilidade de ambos eventos acontecendo multiplicando suas probabilidades. Em outras palavras:

$$ P (\ texto {ambos os dados} \ leq n-1) = P (\ texto {um dado} \ leq n-1) \ vezes P (\ texto {um dado} \ leq n-1) \\ P (\ text {ambos os dados} \ leq n-1) = \ frac {n-1} {20} \ times \ frac {n-1} {20} \\ P (\ text {ambos os dados} \ leq n- 1) = \ Grande (\ frac {n-1} {20} \ Grande) ^ 2 $$

Substituindo isso em nossa equação original, obtemos:

$$ P (êxito) = 1 - \ Grande (\ frac {n-1} {20} \ Grande) ^ 2 $$

Desvantagem

Agora vamos definir o que significa ter sucesso com desvantagens da mesma maneira que definimos o que significa ter sucesso com vantagem. Para desvantagens em que você precisa rolar pelo menos \ $ n \ $ para ter sucesso, ambos os dados devem rolar um valor de \ $ n \ $ ou superior. Em outras palavras, se precisarmos lançar pelo menos um \ $ 18 \ $ para ter sucesso, os dois dados deverão rolar \ $ 18, 19, \ text {ou} 20 \ $. O número total de maneiras de rolar pelo menos \ $ n \ $ em um dado de face 20 é:

$$ \ {\ text {nº de modos de exibição} \ geq n \} = \ {\ text {total de modos de exibição} \} - \ {\ text {nº de modos de exibição} \ leq n-1 \} \\ \ {\ text {nº de maneiras de rolar} \ geq n \} = 20 - (n-1) = 21 - n $$

Podemos criar uma probabilidade disso dividindo pelo número total de maneiras de rolar o dado, dando-nos:

$$ P (\ texto {um dado} \ geq n) = \ frac {21 - n} {20} $$

Como antes, as jogadas de dados são independentes, portanto, podemos obter as probabilidades de ambas serem maiores ou iguais a \ $ n \ $:

$$ P (êxito) = \ Grande (\ frac {21-n} {20} \ Grande) ^ 2 $$

Generalizações

Como trabalhamos com a matemática, também podemos ver como podemos alterar facilmente essa fórmula para obter novas probabilidades. Por exemplo, se criarmos uma regra de "super vantagem" em que você jogue dados 3 em vez de 2, simplesmente multiplicaremos nosso \ $ P (falha) \ $ por mais um dado \ $ \ frac {n-1} {20 } \ $ alterando \ \ ^ 2 \ $ para \ $ ^ 3 \ $. Portanto, podemos generalizar a fórmula para:

$$ P (êxito) = 1 - \ Grande (\ frac {n-1} {20} \ Grande) ^ m $$

Onde \ $ m \ $ é o número de dados. Da mesma forma, as probabilidades de "super desvantagem" seriam:

$$ P (êxito) = \ Grande (\ frac {21-n} {20} \ Grande) ^ m $$

Indo além, se quisermos, também podemos subtrair o \ $ 20 \ $ no denominador por outro número, se você quiser ver as chances de outros dados. Por exemplo, você é um GM e, após a criação do personagem, um jogador chega até você e deseja rever suas estatísticas. Eles dizem que rolaram todos os 1s e 2s em seus 4d6s para uma estatística e acham que isso é tão improvável que fará com que o jogo seja desequilibrado para o personagem. Vamos ajudar o GM a descobrir se o jogador está certo ou não. Em outras palavras, queremos saber \ $ P (\ text {todos os dados} \ leq 2) \ $. É a mesma que a nossa condição de "falha", com vantagem, exceto com os dados do lado 4 6 em vez dos dados do lado 2 20. Portanto, podemos submarcar o 2 para o 4 e o 20 para o 6 e obter:

$$ P (\ text {todos os dados} \ leq \ text {max roll}) = \ Big (\ frac {\ text {max roll}} {\ text {# of sides}} \ Big) ^ \ text {# de dados} \\ P (\ text {todos os dados} \ leq 2) = \ Big (\ frac {2} {6} \ Big) ^ 4 = 0.01234 $$

Portanto, há uma chance de 1.234% disso acontecer (por exemplo, o 1 nas estatísticas 81 acumuladas será tão baixo). Como os personagens precisam rolar estatísticas 6 por jogo, o Mestre decide que isso não é tão improvável quanto o jogador pensa e diz para eles manterem o bloco de estatísticas.

Probabilidade

As respostas fornecidas cobrem efetivamente a probabilidade de cada resultado, 1 a 20, para obter vantagens / desvantagens com o 2d20. Para completar, as probabilidades são as seguintes:

Valor esperado

Ao rolar 2d20 e manter o valor Máximo de cada uma das permutações 400, o valor esperado é 13.825. Por outro lado, o valor esperado quando você mantém o valor Mínimo é 7.175. O afastamento da média de um único d20 é 3.325
Sim, os dois valores médios somam 21.

Beneficiar

Não endereçado é o benefício ou prejuízo inerente ao resultado esperado para a rolagem 2d20. Para minimizar a duplicação de esforços, a análise a seguir assume que o rolo é realizado com vantagem.

Por definição, rolar com vantagem é o ato de rolar 2d20 e obter o valor mais alto; o dado mais baixo, ou um dado se tiver o mesmo valor, é desfavorecido em comparação com o outro. A ordem na qual os dados são lançados é irrelevante. Em vez disso, concentre-se nos valores que eles são capazes de produzir, por exemplo, nas permutações do 400, existem oportunidades do 39 para receber um 20 como resultado preferido. Ao rolar dois dados, o benefício de rolar um 1 e um 20, ou um 20 e um 1, ainda é 19. O 1 é o valor desfavorecido e descontado pelo procedimento para rolar com vantagem.

No entanto, seria um erro estatístico supor que um dado sempre será desfavorecido e se concentrar nos casos em que o valor do outro dado for maior ou igual ao valor do dado desfavorecido. Isso anula os casos 190 em que um benefício ainda seria obtido com a rolagem de 2d20 em vez de um único dado. Isso ocorre porque para cada resultado em que os valores dos dados não são iguais, há casos 2 nos quais isso pode ocorrer. No total, existem casos 20 em que os valores são iguais, 190 onde A <B e 190 onde A> B.

Para analisar corretamente os benefícios do rolamento 2d20, cada um dos casos 400 deve ser examinado. Para cada PAR resultante, o benefício demonstrado pelo lançamento é a diferença absoluta entre os dados, por exemplo, os valores dos dois dados são iguais, o benefício é zero. Com isso, presume-se que o valor desfavorecido seja o resultado que teríamos obtido ao rolar o dado 1, enquanto a diferença entre ele e o dado favorecido é o benefício obtido. A média de cada benefício é 6.650.

Por que + Modificador 5

O PHB fornece um atalho para aplicar vantagens através de um modificador + 5 para substituir o rolo. Coincidentemente

6.650 - (6.650-3.325) / 2 = 4.9875 ~ 5

Na verdade, eu criei um notebook ipython para isso:

Para começar, simplesmente rolei um d20 1000 vezes aleatórias.

O resultado médio do 1d20 para esta série foi 10.

Neste gráfico, rolei o 2d20 1000 e joguei fora o resultado mais baixo.

O resultado médio de um rolo 2d20 vantajoso foi 13.

O último gráfico é um rolo 2d20 1000 vezes em desvantagem.

O resultado médio do rolo em desvantagem foi 7.

Portanto, você pode ver aqui que existe uma tendência geral + - 3 para rolagens favorecidas ou desfavorecidas.

Brinque com os números no Excel

Isso não foi intuitivo para mim no começo, por isso criei uma planilha do Excel para me ajudar a ver como funcionava com os rolos simulados.

Você pode alterar o número de jogadas e o tipo de dado (d20, d12, d33 - se nocauteie) e observe como as rolagens mudam.

Ele fornece um gráfico bacana, assim:

...ou isto:

Encontre a planilha aqui. Divirta-se!

Efetivamente, o truque é encontrar a chance percentual de acertar em vantagem. Subtraia sua porcentagem para acertar normalmente. Divida por 0.05 (5%). Arredondar para baixo. Isso fornecerá o bônus efetivo que a vantagem oferece.

Por que dividir por 5%? Como o d20 padrão é o resultado 20 e o 100 / 20 = 5. Portanto, se você quiser saber quantos resultados efetivos de dado, o bônus está ajudando você a dividir por 5. (Fato interessante: o tamanho do dado afetaria seus resultados em jogos diferentes - mas como o padrão é D20, é um ponto discutível.)

Caso você esteja se perguntando, eu tirei de Este artigo e calculamos a vantagem do bônus efetivo. Como você pode ver, ele oferece mais bônus quando mais próximo do meio do alcance necessário. Mas menos um bônus nos extremos. Em termos de jogos, se você era realmente bom - ou realmente terrível - em acertar o AC / DC antes, a vantagem não pode realmente ajudá-lo. No entanto, se você é apenas um joão comum, você obtém o máximo benefício disso.

Em outras palavras, por ter vantagem, o jogo recompensa você. No entanto, a recompensa efetiva não é um bônus fixo. Em vez disso, a recompensa é curvada em torno da sua chance original de sucesso. A desvantagem funciona da mesma forma, exceto que a recompensa é uma penalidade.

RLL NORMAL ADV ADV - Bônus efetivo normal 20 0.050 0.098 0.48 0 19 0.100 0.191 + 0.91 1 18 0.150 .0.278 + 128 2 17 0.200 .0.359 + 159 3 16 0.250 XNXX. 0.437 .187 + 3 15 0.300 .0.510 + 210 4 14 0.350 .0.576 + 226 4 13 0.400 .0.639 + 239 4 12 0.450 .0.698 + 248 4 11NX. .0.500 + 0.751 251 5 10 .0.550 + 0.798 248 4 9 .0.600 + 0.840 240 4 8 .0.650 + 0.877 227 4 7 .0.700 + 0.910 210 4 6 .0.750 0.938 188.

O resultado médio esperado é 1 fora do 20.

A rolagem duas vezes faz com que o resultado esperado seja 1 fora do 10, que é o 2 no 20 simplificado, em vez de o 1 no 20 como em um rolo regular.

É o mesmo para vantagens e desvantagens, pois a diferença é pegar o número mais baixo em vez do número maior. Mas, caso contrário, é o mesmo.

Sem complicar demais, vou ser breve com este exemplo; você tem mais chances de encontrar um bilhete dourado de Willie Wonka se comer barras 2 em vez de barras 1, e os jogadores sabem disso quando rolam com vantagem ou desvantagem. É por isso que eles gostam de vantagem e não gostam de desvantagem.

Espero que ajude a esclarecer qualquer confusão, sem ser científico.