Não

Supondo que faz Queime eternamente, por RAW ele não pode transformar sua espada em uma Lâmina Flamejante. O fogo do alquimista é muito específico sobre como deve ser usado. Adventuring Gear

This sticky, adhesive fluid ignites when exposed to air. As an action, you can throw this flask up to 20 feet, shattering it on impact. Make a ranged attack against a creature or object, treating the alchemist's fire as an improvised weapon. On a hit, the target takes 1d4 fire damage at the start of each of its turns

Isso não significa que sempre que o fogo do Alquimista fizer contato com uma criatura, eles recebem dano de 1d4. Significa que quando o fogo do alquimista é usado como uma arma aprimorada e lançado em uma criatura, essa criatura sofre dano. Também é descrito como um frasco de fogo alquimista. O valor de um frasco do fogo alquimista causará dano 1d4. Portanto, se você precisar de algum raciocínio lógico, revestir sua espada e bater em uma criatura seria muito diferente de jogar um frasco de napalm em uma criatura. Balão de água versus espada de espuma molhada.

Como sempre, seu mestre pode governar de maneira diferente.

Acho que não precisamos mergulhar nas implicações de equilíbrio desse efeito. Você gastaria o 50g para adicionar dano de fogo 1d4 ao acertar (que precisa ser extinto) a qualquer arma para sempre (ou a duração da luta). Considere que o frasco conforme planejado é destinado a causar dano de 1d4 a cada criatura a cada turno até que seja extinto para o ouro 50. O que você está sugerindo é negociar o 1d4 com quantas criaturas quantas vezes você quiser para o ouro 50. Bem, suponho que mergulhemos de qualquer maneira. Mas você pode ver por que seu mestre pode (deve) desaprovar essa solicitação.

Quanto a destruir a espada ou causar dano a você, isso depende do seu Mestre, caso eles permitam essa manobra. Não existem regras listadas para o item em relação à aplicação a uma espada, mas podemos inferir que girar em torno de um bastão de metal coberto de napalm pode ser ... imprudente.

Além de todo o ponto de "as regras dizem exatamente o que o Fogo do Alquimista pode fazer":

Não confunda as regras do jogo (ou a falta delas) com leis da física no universo de D&D.

Existem muitas áreas em que as regras não são específicas sobre todos os detalhes de como algo funciona, porque geralmente não é importante. A duração do fogo do alquimista é uma dessas áreas.

Com o objetivo de usar o fogo alquimista em uma luta, ele queima por um período indeterminado de tempo que excede a duração da luta. Mesmo dois minutos são geralmente muito mais longos do que qualquer luta dura, então 'até extinção' é uma definição suficiente para o objetivo, mas isso não significa, da perspectiva do mundo do jogo, que nunca se queime.

Não, você apenas danificará ou destruirá sua espada.

As regras para o Fogo do Alquimista dizem o seguinte:

As an action, you can throw this flask up to 20 feet, shattering it on impact. Make a ranged attack against a creature or object, treating the alchemist's fire as an improvised weapon. On a hit, the target takes 1d4 fire damage at the start of each of its turns. A creature can end this damage by using its action to make a DC 10 Dexterity check to extinguish the flames.

O alvo é a sua espada e é um objeto que está ao seu alcance, o que significa que é um alvo válido. Como resultado, quando você usa o Alchemist's Fire dessa maneira, você faz um ataque à distância contra um CA do 20 (já que sua espada é feita de aço) - com desvantagem, porque é um ataque à distância contra um alvo à queima-roupa.

Em caso de sucesso, sua espada receberá dano de 1d4 por rodada - e como sua espada é um objeto Pequeno e resistente, ela terá pontos de vida de 3d6 (10), portanto, serão necessários aproximadamente rounds de 4 para que sua espada seja destruída. No entanto, uma criatura (incluindo você) pode executar uma Ação para fazer o teste de Destreza DC 10 para extinguir as chamas e impedir que sua espada seja destruída.

Enquanto estiver em chamas, sua espada não causa dano extra aos inimigos, pois não há regras que afirmam que isso aconteceria.