Ao usar uma varinha para lançar um feitiço de concentração, o usuário precisa fazer um teste de resistência para manter a concentração quando danificado?

Concentração é concentração, não importa se você lança o feitiço de um item ou se você lança o feitiço de um slot de feitiço.

DMG p141

The spell uses its normal casting time, range, and duration, and the user of the item must concentrate if the spell requires concentration.

PHB p203 indica as regras sobre quando a concentração pode ser quebrada, incluindo: sofrer dano, lançar outro feitiço (independentemente da fonte) que requer concentração e ser morto ou incapacitado.

Tudo isso dito, há uma exceção notável. Certos itens sencientes podem realmente lançar um feitiço e manter a concentração liberando o usuário de fazê-lo. Blackrazor é um exemplo disso.

Para o item específico 'Varinha do emaranhado', sim. Em geral, isso depende, pois as varinhas não são descritas como 'conjuradas do item', como um pergaminho ou 'ignoram a conjuração de um feitiço', como uma poção.

DMG P141

Some magic items allow the user to cast a spell from the item. The spell is cast at the lowest possible spell level, doesn't expend any of the user's spell slots, and requires no components, unless the item's description says otherwise. The spell uses its normal casting time, range, and duration, and the user of the item must concentrate if the spell requires concentration. Many items, such as potions, bypass the casting of a spell and confer the spell's effects, with their usual duration.

A maioria, mas nem todas as varinhas, inclui em sua descrição "lançar". Aqueles que não o fazem cairiam na categoria de desvio.