Como seu destino final é nos EUA, o Regulamento DOT dos EUA 14 CFR 399.87 aplica:
For passengers whose ultimate ticketed origin or destination is a U.S. point, U.S. and foreign carriers must apply the baggage allowances and fees that apply at the beginning of a passenger's itinerary throughout his or her entire itinerary. In the case of code-share flights that form part of an itinerary whose ultimate ticketed origin or destination is a U.S. point, U.S. and foreign carriers must apply the baggage allowances and fees of the marketing carrier throughout the itinerary to the extent that they differ from those of any operating carrier.
Portanto, se o seu itinerário não contiver nenhum voo compartilhado, será a franquia de bagagem da primeira etapa que for relevante. No seu caso, são as regras da Etihad para a viagem de Lahore a Roma. (Na viagem de volta, seria a permissão da American para a viagem de Manhattan a Roma.)
Se o seu itinerário contiver vôos em code-share (por exemplo, se os vôos americanos estiverem aparecendo com os números de voo da EY), o subsídio da transportadora de marketing (aqui Etihad) será aplicado em todo o percurso. Isso é importante, pois o subsídio da Etihad do Paquistão para os EUA é mais generoso do que o subsídio do Etihad do Paquistão para a Europa.
No entanto, acho que tudo isso só é válido se sua bagagem for despachada para a MHK. Se, por exemplo, você precisar retirar e verificar novamente sua bagagem em Roma, a American poderá aplicar suas próprias políticas para os dois voos restantes.
Por uma questão de integridade: Se a origem ou destino não estiver nos EUA ou no Canadá, a franquia de bagagem da transportadora mais significativa de acordo com a Resolução IATA 302, mas isso não é importante para você.