Do they lose abilities?

Em termos nominais, não, mas depende de quais tipos de habilidades estamos falando.

Por exemplo: Um dragão não perderia sua capacidade de respirar fogo. Reconhecemos que os Dragões são inerentemente mágicos, mas sua capacidade de respirar fogo é a magia inerente ao próprio universo, e não é suprimida por um Campo Antimagico.

Por outro lado, muitos Dragões / Demônios / Celestiais têm habilidades inatas de conjuração. Essas habilidades seriam suprimidas em um campo antimagínico, porque é exatamente o que o campo antimagínico diz que faz (pelo menos na descrição da magia):

[...]

Spells and other magical effects, except those created by an artifact or a deity, are suppressed in the sphere and can't protrude into it. A slot expended to cast a suppressed spell is consumed. While an effect is suppressed, it doesn't function, but the time it spends suppressed counts against its duration.

—Antimagic Field, PHB, pg. 213

Certifique-se de verificar se a entidade em questão não é literalmente uma divindade / deus (porque eles e seus recursos não são explicitamente afetados por um campo antimagínico), mas, caso contrário, a conjuração seria suprimida.

Outros recursos podem ou não se qualificar, dependendo de sua natureza. Coisas como o Vista do Diabo um recurso comum aos demônios não seria suprimido, mas um recurso como o Armas mágicas característica que Fúrias (Manual do Monstro, pág. 73) seriam suprimidos porque as armas são expressamente descritas como mágicas, e o Campo Antimagico é descrito expressamente como virando Armas Mágicas → Mundanas.

Do they take damage?

A menos que o bloqueio estatístico da criatura diga especificamente que eles recebem dano ou são prejudicados na presença de um Campo Antimagico, eles não sofrem dano. Algumas dessas criaturas podem ser convocadas por um feitiço e, nesse caso, desapareceriam temporariamente pela duração do campo:

Creatures and Objects. A creature or object summoned or created by magic temporarily winks out of existence in the sphere. Such a creature instantly reappears once the space the creature occupied is no longer within the sphere.

—Antimagic Field, PHB, pg. 213

Igual a todas as outras criaturas: elas não podem usar mágica ou habilidades mágicas

Campo antiimagem impede o uso de habilidades mágicas e mágicas de várias maneiras dentro de sua área.

Spells and other magical effects, except those created by an artifact or a deity are suppressed in the sphere and can't protrude into it.

Nada é especial em nenhuma dessas criaturas que ofereça qualquer interação especial com um campo anti-mágico. Os dragões ainda podem voar e soprar fogo em um AMF, por exemplo, mas um dragão lançador de feitiços não seria capaz de lançar esses feitiços dentro do campo. Quaisquer habilidades mágicas que as criaturas tiverem serão suprimidas, bem como quaisquer efeitos mágicos presentes nelas.

Nenhum dos tipos de criatura é inerentemente mágico de uma maneira que seria afetado separadamente de quaisquer habilidades mágicas que eles tenham. Não existe um tipo de criatura inerentemente mágica, por exemplo.

Como sempre, podemos usar o teste fornecido no Compêndio de Conselhos Sábios para dizer o que é um recurso mágico:

Determining whether a game feature is magical is straightforward. Ask yourself these questions about the feature:

• Is it a magic item?
• Is it a spell? Or does it let you create the effects of a spell that’s mentioned in its description?
• Is it a spell attack?
• Is it fueled by the use of spell slots?
• Does its description say it’s magical?

If your answer to any of those questions is yes, the feature is magical.

Se não se enquadrar em pelo menos uma dessas categorias, não será afetado.

Portanto, o único campo anti-mágico que existe em uma criatura (o tipo não importa) é a supressão de características, habilidades e efeitos mágicos na criatura. Eles não sofrem danos ou outros efeitos.

De um modo geral, eles simplesmente perdem o acesso a quaisquer efeitos mágicos sobre eles e não podem lançar feitiços ou usar outras habilidades mágicas, o mesmo que todas as outras criaturas do jogo. De campo antimagia descrição do feitiço:

Creatures and Objects. A creature or object summoned or created by magic temporarily winks out of existence in the sphere. Such a creature instantly reappears once the space the creature occupied is no longer within the sphere.

Demônios e celestiais geralmente não são nativos de nenhum dos mundos de D&D e são nativos apenas de seus aviões domésticos. Se um demônio ou celeste (ou feérico, elementar etc.) estiver presente apenas por causa de um feitiço de convocação, eles desaparecerão até que o espaço que ocuparam não esteja mais dentro de um campo anti-mágico.