Existe uma maneira de ter um alcance maior que os pés 5 quando não estiver atacando?

Animal?

Como alternativa, ter um "animal de estimação" pode efetivamente estender seu alcance, mesmo que não seja realmente seus alcance. Este poderia ser um companheiro de guarda florestal animal, um animal de estimação treinado, um familiar ou mesmo um inteligente montar quem pode seguir as instruções (como a de encontrar corcel).

Ação improvisada com arma de alcance

A definição para Atingir a propriedade da arma lê-se:

Reach. This weapon adds 5 feet to your reach when you attack with it, as well as when determining your reach for opportunity attacks with it.

Significa que o alcance se aplica apenas ao atacar ou tentar ataques de oportunidade. No entanto, as regras também têm regras a serem propositadamente abertas. Um exemplo é ação improvisada Barra Lateral:

Your character can do things not covered by the actions in this section, such as breaking down doors, intimidating enemies, sensing weaknesses in magical defenses, or calling for a parley with a foe. The only limits to the actions you can attempt are your imagination and your character’s ability scores. See the descriptions of the ability scores in the Using Ability Scores section for inspiration as you improvise.

When you describe an action not detailed elsewhere in the rules, the DM tells you whether that action is possible and what kind of roll you need to make, if any, to determine success or failure.

"Quero usar minha arma de alcance para prender a rede e arrastá-la para perto de mim" é um exemplo perfeito de uma solicitação de ação improvisada.

O Mestre determinaria o como da coisa.

• Eles podem decidir que, uma vez que agarrar é uma ação, agarrar a rede com a arma é uma ação completa (talvez Dex verifique em desvantagem com o CD do 14 ou 16 [o que eu faria]). E que você teria que esperar para tentar puxar no seu próximo turno para tentar puxar com a arma sem apenas abrir um pequeno buraco na rede (verifique a força DC 12 ou 14).
• Ou eles poderiam dizer que é uma ação, uma verificação.
• Ou eles poderiam dizer: "Depois de considerar, você não acha que poderia pegar a rede com seu grande machado, porque ele não se encaixa nos furos, e tentar provavelmente machucaria a pessoa lá dentro".
• Ou eles poderiam dizer "não".

Pelo PHB, p. 195, conforme citado por você:

Most creatures have a 5-foot reach and can thus attack targets within 5 feet of them [...].

RAI, os PCs têm um alcance de 9 metros ao redor deles

Como o PHB explica as regras básicas para os jogadores seguirem no jogo, é seguro assumir que "a maioria das criaturas" inclui Personagens de Jogo, como criaturas de tamanho Médio ou Pequeno; realisticamente falando, um humanóide de tamanho normal pode de alguma forma interagir com as coisas que estão ao seu redor, sem se mover, especialmente com uma arma ou uma ferramenta.

RAW, não há específico menção do alcance de um personagem

Esse é o único parágrafo em que alcançar por si só é explicado nas regras principais e emparelhado com o conceito de ataque. Nunca é incluído nas características de uma criatura, como Peso or Velocidade, nem no DMG nem no MM. De fato, alcançar é regularmente mencionado na descrição de ataques, por exemplo, uma mordida de lobo:

Melee Weapon Attack: +4 to hit, reach 5 ft., one target

Há um conceito correlato mencionado na seção Espaço do PHB (capítulo 9, p. 191, ênfase minha), sobre as "células" ocupadas por uma criatura:

A creature's space is the area in feet that it effectively controls in combat, not an expression of its physical dimensions. A typical Medium creature isn't 5 feet wide, for example, but it does control a space that wide.

Nada mais é dito sobre o que está ao redor do espaço ocupado de uma criatura e sua influência no ambiente circundante. Isso significa que não há regras detalhadas sobre o alcance das criaturas para interações que não são ataques e o parágrafo que você citou é a única orientação genérica.

Como nenhuma decisão específica é dada, o Mestre decide

O Mestre precisa decidir o que pode e o que não pode ser feito. Quando não está atacando, uma criatura Enorme tem, digamos, um alcance de pés 10, graças ao seu tamanho, ou apenas o alcance "regular" de pés 5? Talvez seja o caso de um gigante, graças aos seus braços longos. Que tal um gigantesco, ele tem um alcance ainda maior? E o Kraken, cujo Tentáculo ataque tem um alcance de 10 metros? Isso significa que ele pode interagir (sem atacar) com coisas que estão ao seu redor, graças aos seus tentáculos? Um dragão pode usar sua cauda longa para interagir de alguma forma com algo fora do alcançar de suas garras ou mordida?

Se o Mestre determinar que criaturas grandes têm um alcance maior, graças ao seu tamanho, você pode tirar vantagem disso por Polimorfismo, Alteração de Formas, etc., em uma Criatura Enorme, por exemplo.

Em relação aos itens, armas com Alcance, como o Pike, adicione pés 5 ao seu alcance normal ao atacar com eles (PHB p. 147, ênfase minha):

Reach. This weapon adds 5 feet to your reach when you attack with it.

No entanto, você poderá usá-los de forma criativa para algo diferente de atacar, de uma maneira plausível. Referindo-se aos exemplos que você deu no corpo da pergunta, ajudar alguém a sair da rede pode exigir que você a toque diretamente ou, de alguma forma, corte-a de longe com o seu Halberd; você pode ajudar alguém a sair da areia movediça, alcançando-o com sua lança, aumentando seu alcance além dos braços.

Da mesma forma, os Bugbears, como uma raça jogável no Guia de Volo, têm uma característica racial que garante um alcance mais longo ao atacar. Seu Mestre pode permitir que isso seja estendido a outras manobras além de atacar, se você jogar como um bugbear ou se transformar em um.

Long Limbed. When you make a melee attack on your turn, your reach for it is 5 feet greater than normal.

Infelizmente, não há feitiço que diretamente aumenta o alcance de uma criatura, no PHB. Como sugerido anteriormente, feitiços que aumentam o tamanho podem indiretamente aumente o alcance também, se o mestre decidir isso.

Alcance não é algo que possa ser aplicado. A descrição simplesmente afirma que, se você não puder alcançar a criatura capturada na rede, não poderá ajudá-la a sair da rede. Essa é uma situação em que você se afasta dos números e da matemática e simplesmente diz ao mestre "Eu tento libertar o Jumbo da rede".

Não tenho uma resposta RAW para dar à pergunta atual. Acrescentarei que, se eu fosse o Mestre, permitiria que qualquer alteração no alcance do ataque corpo a corpo com base no seu corpo também se aplicasse a essas situações. Por exemplo. bugbears ' Long Limbed¹ seria aplicável, mas não segurando uma glaive. No entanto, aos meus olhos, tudo se resume a usar as mãos para manipular um objeto, por isso é mais uma questão narrativa para o Mestre, em vez de uma questão de regras.

¹ Guia de Volo para monstros, PCs monstruosos