Posso lançar Sunbeam se minhas duas mãos estiverem ocupadas?

Somente uma mão pode fazer as três coisas: executar o componente somático, executar o componente material e emitir o feixe de luz.

• Posso lançar Raio de sol se minhas duas mãos estão ocupadas, mesmo que uma esteja segurando o componente Material?

  Sim.

• Caso contrário, preciso segurar o componente Material (ou foco) em uma mão, mantendo a outra livre?

  Não.

• Como o elenco de Raio de sol interagir com o feito War Caster?

  Não de uma maneira que libere uma mão.

As regras para o lançamento de feitiços afirmam que você pode usar uma mão livre para cumprir os componentes material e somático de um feitiço. Você também não precisa segurar o componente do material em uma mão e emitir o feixe da outra; a mesma mão pode fazer as duas coisas.

PHB p. 203

A spellcaster must have a hand free to access these components but it can be the same hand that he or she uses to perform somatic components

Para se qualificar para o raio de Sol, o componente do material é uma lupa. Parece haver alguma confusão sobre como alguém pode emitir o feitiço de sua mão enquanto essa mão está 'ocupada' executando os componentes.

As regras não fazem menção de exigir que a outra mão emita o feixe; pode emitir daquele que lança o feitiço. Para ajudar nessa explicação, basta imaginar que a mão que segura a lente de aumento tem o feixe de luz que viaja da palma da mão, através do vidro, enquanto os dedos seguram o copo na frente da palma da mão e se expandindo para preencher o cone AoE. (Muito legal e satisfaz a mecânica do livro.)

A segunda bala de War Caster é pertinente aqui e, infelizmente, não ajuda com raio de sol componente material.

PHB p. 170

You can perform the somatic components of spells even when you have weapons or a shield in one or both hands.

Desde raio de Sol requer o uso de um componente material e, como o lançador de guerra não faz menção a componentes materiais, essa parte do feito não ajudará no feitiço; uma mão ainda será necessária para manipular a lupa, independentemente da outra ser capaz de executar o componente somático enquanto segura armas ou escudos.

O termo "mão livre" não é definido nas regras, portanto depende de um GM; Independentemente disso, a segunda bala da façanha de War Caster não ajuda ao lançar o raio de Sol soletrar

O que sabemos sabemos das regras sobre Componentes de conjuração é aquele:

[...] If a spell requires a somatic component, the caster must have free use of at least one hand to perform these gestures.

A spellcaster must have a hand free to access a spell's material components -- or to hold a spellcasting focus -- but it can be the same hand that he or she uses to perform somatic components.

O raio de Sol o feitiço possui componentes materiais e somáticos, para que possamos usar uma mão para executar os dois; o único requisito é que a mão seja "livre".

As regras nunca definem a palavra "grátis"; portanto, ela fica no inglês padrão; se sua mão está livre para fazer algo, é "capaz ou permitido executar uma ação especificada". (definição de léxico).
A menos que uma regra específica diga alguma coisa, qualquer regra relativa à "liberdade" de uma mão depende do GM

No entanto, o raio de Sol feitiço nunca diz que requer uma mão livre

Note o raio de Sol feitiço tem componentes verbais, somáticos e materiais e sua descrição afirma:

A beam of brilliant light flashes out from your hand in a 5-foot-wide, 60-foot-long line...

You can create a new line of radiance as your action on any turn until the spell ends...

For the duration, a mote of brilliant radiance shines in your hand...

Nenhuma parte do feitiço exige que a mão que emite luz esteja livre (a mão que executa os componentes do material, no entanto, deve estar livre). Quando as coisas exigem uma mão livre, elas costumam dizer isso (as armas são "portáteis", os componentes exigem uma mão livre, assim como a luta). Portanto, é provável que o feitiço não não requer uma mão livre.

Como o talento de War Caster interage?

Observe que o feito do War Caster afirma:

You can perform the somatic components of spells even when you have weapons or a shield in one or both hands.

Isso não nos ajuda muito, o feitiço ainda possui componentes materiais e, para usar componentes materiais (ou um foco), precisaríamos de uma mão livre. O talento apenas ajuda em dois cenários:

1. Você tem um feitiço com componentes somáticos, mas não com componentes materiais. Ele permite que você use uma mão que está segurando outra coisa para executar os componentes.
2. Você tem um feitiço com todos os três mas você tem um foco gravado em um escudo ou alguma armadura ou arma semelhante que você já está empunhando. Ele permite que você use uma mão que está segurando outra coisa para executar apenas os componentes somáticos.