As regras dizem alterar, não adicionar àfeitiços preparados
A diferença entre "adicionar aos que já foram preparados" (sua proposta) e "alterar os que foram preparados anteriormente" depende da "nova lista" que está sendo preparada após um longo descanso.
You prepare the list of paladin spells that are available for you to cast, choosing from the paladin spell list. When you do so, choose a number of paladin spells equal to your Charisma modifier + half your paladin level, rounded down (minimum of one spell). The spells must be of a level for which you have spell slots.
{snip} Casting the spell doesn’t remove it from your list of prepared spells.
You can change your list of prepared spells when you finish a long rest. Preparing a new list of paladin spells requires time spent in prayer and meditation: at least 1 minute per spell level for each spell on your list. (SRD. Page 31; italics and bolding mine for emphasis)
A nova lista substitui a lista antiga; se a nova lista fosse adicionada à lista anterior, as regras especificariam isso. Observe que a adição à lista anterior colidiria com o limite numérico já apresentado (com base no nível 1 / 2 e no modificador Charisma) da seção de lançamento de feitiços do Paladin. (E, nesse caso, se funcionasse de maneira aditiva, em pouco tempo todas as magias de toda a lista de magias do Paladin poderiam ser preparadas, de acordo com o comentário do @ Upper_Case, tornando esse limite um tanto inútil).
Sobre 'usar feitiços' (título da pergunta)
Não importa se o paladino lançou algum feitiço no dia anterior ou não.
O que é "usado" nesta edição quando alguém lança um feitiço é slots de feitiço. Se eu preparar três feitiços diferentes - comando, curar feridas, favor divino - e tem três espaços para transmitir nesse dia (por exemplo) comando três vezes, ou eu poderia lançar curar feridas uma vez e favor divino duas vezes, etc, em qualquer combinação que surgir durante o jogo. Os feitiços em si são "fixados na mente do paladino" (consulte o Capítulo 10) através da preparação. Eu recomendaria uma revisão do capítulo 10 (PHB ou Regras básicas) nas subseções de "Feitiços conhecidos e preparados" e "Slots de feitiços". (Mina itálica nos trechos abaixo)
Feitiços conhecidos e preparados
Before a spellcaster can use a spell, he or she must have the spell firmly fixed in mind, or must have access to the spell in a magic item. Members of a few classes have a limited list of spells they know that are always fixed in mind. {snip} Other spellcasters, such as clerics and wizards, undergo a process of preparing spells. This process varies for different classes, as detailed in their descriptions. (Basic Rules, p. 82)
Paladinos preparam feitiços da mesma maneira que clérigos e druidas.
Spell Slots
Regardless of how many spells a caster knows or prepares, he or she can cast only a limited number of spells before resting. (Basic Rules, p. 82)
É isso que se acostuma entre os longos períodos de descanso do paladino.