Não

Considere este texto da Imagem principal soletrar:

Physical interaction with the image reveals it to be an illusion, because things can pass through it. A creature that uses its action to examine the image can determine that it is an illusion with a successful Intelligence (Investigation) check against your spell save DC. If a creature discerns the illusion for what it is, the creature can see through the image, and its other sensory qualities become faint to the creature.

A investigação passiva não usa sua ação, portanto não identifica automaticamente a ilusão como tal.

Provavelmente não, não

Como sempre, seu mestre pode escolher o que ele quiser para isso e escolher por cenário, mas vamos ver o texto de Ilusão Menor.

If a creature uses its action to examine the sound or image, the creature can determine that it is an illusion with a successful Intelligence (Investigation) check against your spell save DC. If a creature discerns the illusion for what it is, the illusion becomes faint to the creature.

Investigação passiva não é o mesmo que ativamente fazendo uma verificação, para que não se qualifique realmente ao requisito "usando sua ação". Um mestre pode discordar dessa linha de pensamento, mas parece pretendida.

Não é bem assim, mas certamente ajuda contra eles!

Para dar um exemplo (como visto em Resposta de Allan Mills), veja a descrição do imagem principal soletrar:

Physical interaction with the image reveals it to be an illusion, because things can pass through it. A creature that uses its action to examine the image can determine that it is an illusion with a successful Intelligence (Investigation) check against your spell save DC. If a creature discerns the illusion for what it is, the creature can see through the image, and its other sensory qualities become faint to the creature.

Você ainda precisa usar sua ação para examiná-la, mas A investigação passiva pode entrar em jogo definindo o piso para o teste. (Observe, nem todos os DMs concordam com isso, mas eu não vi um DM não vá com ele.) Por exemplo, como você disse em sua pergunta:

Let's assume a character has 20 passive Investigation. A level 13 caster with 20 INT, has a DC of (8+5+5) = 18.

Se o CD for 18 e seu personagem tiver uma Investigação Passiva 20 (pelo bem deste exemplo, presumirei que seu personagem também seja um nível 13 com uma pontuação de Inteligência de 20 e seja proficiente em Investigação), se rolarem para a verificação de investigação e o teste antes dos modificadores, um 7 ou inferior (+ 5 para o mod Int e outro + 5 para proficiência em um total de + 10), esse teste totaliza 17, que é menor que a investigação passiva do personagem. Em casos como esse, você usaria a investigação passiva como base para a verificação, elevando o total da rolagem para 20. Portanto, sua investigação passiva faz com que você, nesse caso, passe automaticamente em qualquer verificação feita com um CD do 20 ou inferior.