Você realmente não pode viajar para o Reino Unido depois de passar os dias 90 na Irlanda. Os dias 90 são para toda a área de viagem comum, não apenas para a República da Irlanda!
O Reino Unido e a República da Irlanda fazem parte da área comum de viagens
https://en.wikipedia.org/wiki/Common_Travel_Area
Isso significa que não há cheques de fronteira, imigração ou alfândega entre os dois países; portanto, não há possibilidade de carimbar seu passaporte como prova. Portanto, os dias da 90 que você recebeu quando entrou na República da Irlanda se aplicam a toda a área de viagem comum, não apenas à República.
Este post descreve em mais detalhes para diferentes circunstâncias.
Implicações na passagem da fronteira terrestre Irlanda / Irlanda do Norte para um americano
Para sua informação a respeito de viagens além-fronteiras: geralmente é aceito que você precise manter sua própria prova de viagem entre os países. Isso significa cartões de embarque, bilhetes de balsa, bilhetes de trem, passagens de ônibus etc. que comprovam sua viagem. Isso deve ser suficiente na maioria dos casos.