A liberdade de circulação dos trabalhadores é um dos alicerces fundamentais da UE e os cidadãos da UE não precisam de autorização prévia para trabalhar noutro local da UE.
Na prática, alguns países costumavam (e talvez ainda o fizessem) entregar alguma forma de residência "permissão", mas ao contrário de cidadãos não-europeus, você tem direito a obter um (ou seja, formalmente a licença apenas documenta sua direitos de tratados existentes, não cabe às autoridades do país lhe dar uma ou não). Na minha experiência, é uma formalidade que você completa depois de começar a trabalhar, nada acontece se você não tiver uma.
Por exemplo, na Irlanda, apareci algumas vezes na delegacia de polícia local, onde aparentemente apenas um garda conhecia o procedimento e ele nunca esteve lá; seus colegas me disseram para não se incomodar. Na Holanda, recebi um da administração da cidade onde me perguntaram se eu queria ou não e disse que é mais útil simplificar coisas como obter benefícios sociais se eu perdesse meu emprego, etc. (Eu não tenho experiência pessoal com isso, mas eu acredito que você só se qualifica para o bem-estar depois de viver vários anos no país, você não pode ir "fazer compras de benefícios" e mudar para um país só para isso.
Tudo isso ainda não é verdade para os cidadãos da Romênia, Bulgária e Croácia que ainda sofrem com restrições em certos países por até 7 anos depois que seu país aderiu à UE sob regras transitórias e às vezes precisam passar por muitas burocracia para obter uma autorização de trabalho.
Claro, se você quer praticar uma profissão regulamentada (começando com advogados e médicos, mas em alguns países a lista é realmente longa), você precisa ter suas qualificações reconhecidas. Fazer com que este tipo de coisas funcione tão bem quanto possível é uma grande parte do que a UE faz, mas é improvável que seja um problema para empregos de curto prazo. Em muitos países, você também precisa obter um número de seguro fiscal / de saúde que os locais teriam desde o nascimento e que os empregadores exigirão.Em alguns países, suspeito que trabalhar legalmente também significaria que você precisa se registrar como residente na administração local, independentemente do horário que pretenda ficar (na Alemanha, na Suíça, na Holanda, os residentes devem registrar oficialmente qualquer alteração de endereço dentro de dias de movimento - parece meio assustador para mim, mas é muito fácil de fazer na prática). Então, ainda pode haver alguma burocracia envolvida, mesmo que você não precise de uma permissão per se .
Além disso, um pequeno número de posições em defesa, saúde ou políticas pode ser fechado para cidadãos de outros países da UE (mas certamente não para todos empregos no setor público). As informações sobre este sítio oficial da UE são muito boas.
PS: A imigração está fora do tópico neste site, mas novamente temos perguntas sobre trabalhar na Geórgia ou na Argentina e, se você é um cidadão de um dos estados membros, as regras da UE obviamente também permitem que você trabalhe por um curto período de tempo enquanto viajava pela Europa.